Teorema de Bayes

Es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes (1702-1761), en 1763 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.

Formula.

Con base en la definición de Probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional ${\displaystyle P(A_{i}|B)}$ de cualquiera de los eventos, dado ${\displaystyle B}$. La fórmula  "ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias".
Los ejercicios Resueltos fueron sacados del libro de Probabilidad y Estadistica que hemos venIdo siguiendo en todo el ciclo:

2.95, 2.96, 2.97, 2.99

2.95 En cierta región del país se sabe por experiencia que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es 0.05. Si la probabilidad de que un doctor diagnostique de forma correcta que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0.78, y

la probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin cáncer tiene la enfermedad es 0.06, ¿cuál es la probabilidad de que a un adulto mayor de 40 años se le diagnostique cáncer?

P(A1) =0.05 = con Cáncer

P(A2) =0.95 = sin Cáncer

P(B/A1) =0.78 = diagnóstico correcto

P(B/A2) =0.06 = diagnóstico incorrecto
El procedimiento:

P(B)=P(A1). P(B/A1) + P(A2). P(B/A2) = (0.05*0.78) + (0.95*0.006) = 0.0447

2.96  La policía planea hacer respetar los límites de velocidad usando un sistema de radar en 4 diferentes puntos a las orillas de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios L1, L2, L3 y L4 operarán 40%, 30 %, 20% y 30% del tiempo. Si una persona que excede el límite de velocidad cuando va a su trabajo tiene probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5 y 0.2, respectivamente, de pasar por esos lugares, ¿cuál es la probabilidad de que reciba una multa por conducir con exceso de velocidad?

Trampas                                         

P(M|L1) = 40% = 0.4                                         

P(M|L2) = 30% = 0.3                                          

P(M|L3) = 20% = 0.2
P(M|L4) = 30% = 0.3                                          

Probabilidad por Conductor

P(L1) = 0.2

P(L2) = 0.1

P(L3) = 0.5

P(L4) = 0.2

El procedimiento:

P(M) = P(L1)*P(M|L1) + P(L2)*P(M|L2) + P(L3)*P(M|L3) + P(L4)*P(M|L4)

P(M) = (0.2)*(0.4) + (0.1)*(0.3) + (0.5)*(0.2) + (0.2)*(0.3)

P(M) =  0.27

2.97 Remítase al ejercicio 2.95. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona a la que se le diagnostica cáncer realmente tenga la enfermedad?

P(D) = 0.096

P(C) = 0.05

P(D|C) = 0.78

El procedimiento:

P(C|D) = [P(C)*P(D|C)] / P(D)

P(C|D) = (0.05)*(0.78) / 0.096

P(C|D) = 0.40625

2.99 Suponga que los cuatro inspectores de una fábrica de película colocan la fecha de caducidad en cada paquete de película al final de la línea de montaje. John, quien coloca la fecha de caducidad en 20% de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 200 paquetes; Tom, quien la coloca en 60% de los paquetes, no logra ponerla en uno de cada 100 paquetes; Jeff, quien la coloca en 15% de los paquetes, no lo hace una vez en cada 90 paquetes; y Pat, que fecha 5% de los paquetes, falla en uno de cada 200 paquetes. Si un cliente se queja de que su paquete de película no muestra la fecha de caducidad, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido inspeccionado por John?

Inspectores                   

I1 = Ins. Juan                                            

I2 = Ins. Tomás                                           

I3 = Ins. Jesús                                           

I4 = Ins. Pedro                                             

Probabilidad de la Inspección

P(I1) = 20% = 0.2    

P(I2) = 60% = 0.6

P(I3) = 15% = 0.15

P(I4) = 5% = 0.05

Probabilidad de fechas faltantes

P(F|I1) = 1/200 = 0.005 

P(F|I2) = 1/100 = 0.010

P(F|I3) = 1/90 = 0.011

P(F|I4) = 1/200 = 0.005

El procedimiento para el calculo de la fechas:

P(F) = P(I1)*P(F|I1) + P(I2)*P(F|I2) + P(I3)*P(F|I3) + P(I4)*P(F|I4)

P(F) = (0.2)*(0.005) + (0.6)*(0.010) + (0.15)*(0.011) + (0.05)*(0.005)

P (F) = 0.0089

El procedimiento para el calculo de la probabilidad de que John la haya inspeccionado:

P(I1|F) = [P(I1)*P(F|I1)]/P(F)

P (I1|F) = (0.2)*(0.005) / 0.0089

P (I1|F) = 0.1124

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